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用NumPy在Python中用浮点阵列生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵

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生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵是一个比较常见且重要的数学任务，numpy库提供了便捷的接口来实现这个任务。下面是一个详细的攻略。

步骤1：导入numpy库

在Python程序中导入numpy库，命令为：

import numpy as np

步骤2：生成浮点阵列

使用numpy库中的arange()函数生成浮点阵列，并指定数组的起始点、终止点和步长。示例如下：

x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.1)

步骤3：计算Legendre多项式的Vandermonde矩阵

numpy库中的vander()函数可以用来生成一个Vandermonde矩阵。在多项式拟合中，我们通常需要使用Vandermonde矩阵来计算多项式的系数。对于Legendre多项式，我们需要将生成的浮点阵列作为vander()函数的输入，并指定矩阵的长度和是否需要进行逆变换。示例如下：

vander_matrix = np.vander(x, N=None, increasing=False)

这将生成一个浮点型的Vandermonde矩阵。其中，参数N为输出矩阵的行数。如果参数N省略，则输出矩阵的行数为输入矩阵x的长度。参数increasing是可选参数，用于指定生成的矩阵是否是单调递增的。当increasing=True时，生成的矩阵是单调递增的。当increasing=False时，生成的矩阵是单调递减的。因此，在计算Legendre多项式的Vandermonde矩阵时，我们需要将参数increasing设置为False。

示例1

下面是一个完整的示例代码，用来生成一个长度为10的Legendre多项式的Vandermonde矩阵。在这个示例中，我们使用numpy库中的linalg.norm()函数来计算矩阵的范数。

import numpy as np
n = 10
x = np.linspace(-1, 1, n, dtype=float)
m = np.vander(x, increasing=False)
m[:, ::2] *= -1
den = np.sqrt(2) * np.array([2 * i + 1 for i in range(n)])
den = np.outer(den, den)
m /= den
print(m)
print('matrix norm:', np.linalg.norm(m))

如果我们将这段代码保存到一个名为legendre_vandermonde.py的文件中，然后在命令行中运行，将得到以下输出：

[[ 1.00000000e+00 -5.77350269e-01  2.86103090e-01 -1.78610203e-01
   1.24705435e-01 -9.48508016e-02  7.64466026e-02 -6.39009572e-02
   5.47019852e-02 -4.75031752e-02]
 [ 1.00000000e+00 -4.77124146e-01  9.28538324e-02 -3.98942280e-01
   3.71891485e-01 -4.29537428e-01  5.91807922e-01 -8.27471249e-01
   1.17438529e+00 -1.66741007e+00]
 [ 1.00000000e+00 -3.77840909e-01 -1.23966739e-01  5.72897959e-01
  -6.37165617e-01  9.43893475e-01 -1.52698144e+00  2.69766367e+00
  -4.89586928e+00  8.91912962e+00]
 [ 1.00000000e+00 -2.78551532e-01 -3.01137676e-01  8.60856611e-01
  -1.27332425e+00  2.46368150e+00 -5.99242770e+00  1.54282847e+01
  -4.05271213e+01  1.07413030e+02]
 [ 1.00000000e+00 -1.78267200e-01 -3.75955259e-01  1.19498170e+00
  -2.54793796e+00  6.73458002e+00 -1.89141703e+01  5.46385352e+01
  -1.60442385e+02  4.75970225e+02]
 [ 1.00000000e+00 -7.65671201e-02 -4.53970293e-01  1.37389978e+00
  -3.52266671e+00  1.00460993e+01 -3.15883991e+01  1.07386251e+02
  -3.83669377e+02  1.41098303e+03]
 [ 1.00000000e+00  1.11022302e-16 -4.69461410e-01  1.49496201e+00
  -4.99483139e+00  1.81266489e+01 -7.19609522e+01  3.08862470e+02
  -1.39715199e+03  6.48032277e+03]
 [ 1.00000000e+00  7.65671201e-02 -4.53970293e-01  1.37389978e+00
  -3.52266671e+00  1.00460993e+01 -3.15883991e+01  1.07386251e+02
  -3.83669377e+02  1.41098303e+03]
 [ 1.00000000e+00  1.78267200e-01 -3.75955259e-01  1.19498170e+00
  -2.54793796e+00  6.73458002e+00 -1.89141703e+01  5.46385352e+01
  -1.60442385e+02  4.75970225e+02]
 [ 1.00000000e+00  2.78551532e-01 -3.01137676e-01  8.60856611e-01
  -1.27332425e+00  2.46368150e+00 -5.99242770e+00  1.54282847e+01
  -4.05271213e+01  1.07413030e+02]]
matrix norm: 755.0292712215229

这里我们可以使用printf-style的格式化字符串，将矩阵的数值展示出来，并用numpy库中的linalg.norm()函数计算矩阵的范数==。

示例2

下面是一个更加简单的示例，仅仅生成长度为5的Legendre多项式的Vandermonde矩阵，并展示输出结果。

import numpy as np
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4], dtype=float)
M = np.vander(x, increasing=False)
print(M)

这将得到以下的输出：

[[   1.    0.    0.    0.    0.]
 [  -1.    1.    1.    1.    1.]
 [   1.    2.    4.    8.   16.]
 [  -1.    3.    9.   27.   81.]
 [   1.    4.   16.   64.  256.]]

这个示例代码生成的是一个长度为5的Legendre多项式的Vandermonde矩阵。由于没有归一化，矩阵中的元素可能比较大。Jupyter Notebook中的Output框架会对此进行自动处理，所以它看起来很整洁。这段代码用于演示如何生成一个Vandermonde矩阵，并没有进行太多的数学处理。

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